《增长速度的比较》指数函数、对数函数与幂函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解函数平均变化率的概念.
2.会求函数在给定区间上的平均变化率.
3.掌握函数的平均变化率与单调性的关系.
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增长速度的比较PPT，第二部分内容：课前篇自主预习
一、平均变化率
1.试求出y=3x+4在[3,5]上的平均变化率.
提示:平均变化率为y的改变量与x的改变量之比.
2.填空.
(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为平均变化率.
(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率为 _______________.
(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加 个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.
3.做一做:函数y=4x的平均变化率为a1,函数y=x-3的平均变化率为a2,则a1,a2的大小关系是( )
A.a1>a2 B.a1<a2 C.a1=a2 D.无法确定
答案:A
二、求平均变化率的步骤
1.求y=5x+1在[2,3]上的平均变化率可分成几步?
提示:①Δx=3-2;②Δy=5×3+1-(5×2+1);③ =5.
2.填空.
平均变化率的求解步骤:
(1)确定区间[x1,x2](x2>x1);
(2)求出Δx=x2-x1;
(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);
(4)求出平均变化率Δf/Δx=(f"(" x_2 ")-" f"(" x_1 ")" )/(x_2 "-" x_1 ).
3.做一做:y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是 ( )
A.2 B.2x C.2+Δx D.2+(Δx)2
答案:C
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增长速度的比较PPT，第三部分内容：课堂篇探究学习
函数平均变化率的求解
例1函数f(x)=x2+ +4在区间[1,2]上的平均变化率为__________.
分析:根据平均变化率的定义列式求解.
变式训练函数y=f(x)=-2x2+5在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为 .
答案:-8-2Δx
解析:Δy=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以 =-8-2Δx,即平均变化率为-8-2Δx.
平均变化率的大小比较
例2已知函数y1=3x+1,y2=log4x-1,分别计算两个函数在[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较它们的大小.
解: y1=3x+1的平均变化率为Δy/Δx=(3^(a+1)+1"-" 3^a "-" 1)/("(" a+1")-" a)=2×3a,y2=log4x-1的平均变化率为Δy/Δx=(log_4 "(" a+1")-" 1"-" log_4 a+1)/("(" a+1")-" a)=log4(1+1/a).
因为a>1,所以2×3a>6,log4(1+1/a)<log44=1,
所以在区间[a,a+1](a>1)上y1=3x+1的平均变化率大于y=log4x-1的平均变化率.
延伸探究求y=3x+1在[a,a+1]与[a+1,a+2]上的平均变化率,并比较它们的大小.
解: 在[a,a+1]上,Δy/Δx=(3^(a+1)+1"-" 3^a "-" 1)/("(" a+1")-" a)=2×3a,
在[a+1,a+2]上,Δy/Δx=(3^(a+2)+1"-" 3^(a+1) "-" 1)/("(" a+2")-" a"-" 1)=2×3a+1=6×3a.因为(6×3^a)/(2×3^a )=3>1,
所以y=3x+1在[a+1,a+2]上平均变化率大于在[a,a+1]上的平均变化率.
思考(1)随左端点变化,y=3x+1的平均变化率怎样变化?
(2)我们可以怎样定义这样的函数?
提示:(1)左端点越大,y=3x+1的平均变化率越大.
(2)我们将y=3x+1这样的函数称为爆炸型函数.
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增长速度的比较PPT，第四部分内容：思维辨析
平均变化率大小比较的常用方法
典例(1)求y=2x在[1,1+Δx]与[2,2+Δx]上的平均变化率,并比较大小.
(2)求y=x2-2在[1,1+Δx]和[2,2+Δx]上的平均变化率,并比较大小.
(3)求y=3x与y=log2x在[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较大小.
解:(1)在[1,1+Δx]上,Δy/Δx=(2^(1+Δx) "-" 2)/Δx,在[2,2+Δx]上,Δy/Δx=(2^(2+Δx) "-" 4)/Δx,因为((2^(2+Δx) "-" 4)/Δx)/((2^(1+Δx) "-" 2)/Δx)=2>1,
所以y=2x在[2,2+Δx]上的平均变化率大于在[1,1+Δx]上的平均变化率.
(2)在[1,1+Δx]上,Δy/Δx=("(" 1+Δx")" ^2 "-" 2"-" 1+2)/Δx=2+Δx,
在[2,2+Δx]上,Δy/Δx=("(" 2+Δx")" ^2 "-" 2"-" 4+2)/Δx=4+Δx.
因为4+Δx-2-Δx=2>0,所以y=x2-2在[2,2+Δx]上的平均变化率大于在[1,1+Δx]上的平均变化率.
(3)对于y=3x,Δy/Δx=(3^(a+1) "-" 3^a)/("(" a+1")-" a)=2×3a>6,
对于y=log2x,Δy/Δx=(log_2 "(" a+1")-" log_2 a)/("(" a+1")-" a)=log2(a+1)/a
=log2(1+1/a)<log2(1+1/1)=1.
所以y=log2x在[a,a+1]上的平均变化率小于y=3x在[a,a+1]上的平均变化率.
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增长速度的比较PPT，第五部分内容：当堂检测
1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于 ( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
答案:A
2.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系为( )
A.k1<k2 B.k1>k2
C.k1=k2 D.无法确定
答案:D
3.函数f(x)=x,g(x)=x2在[0,1]上的平均变化率分别为m1,m2,则下列结论正确的是( )
A.m1=m2
B.m1>m2
C.m2>m1
D.m1,m2的大小无法确定
答案:A
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