《函数的单调性》函数的概念与性质PPT课件(第2课时函数的平均变化率)

《函数的单调性》函数的概念与性质PPT课件(第2课时函数的平均变化率)

第一部分内容：学 习 目 标

1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．(重点)

2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)

核 心 素 养

通过利用函数f(x)的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养.

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函数的单调性PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

1．直线的斜率

(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称________为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为ΔyΔx)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率________．

(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于__轴的倾斜程度．

2．平均变化率与函数单调性

若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y2－y1x2－x1即ΔfΔx＝f(x2)－f(x1)/x2－x1，则

(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是ΔyΔx   0在I上恒成立；

(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是ΔyΔx   0在I上恒成立．

3．平均变化率的物理意义

(1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即v＝st2－st1t2－t1.

(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即a＝vt2－vt1t2－t1.

初试身手

1．已知点A(1,0)，B(－1,1)，则直线AB的斜率为(　　)

A．－12　 　　B.12　 　　C．－2　 　　D．2

2．如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为(　　)

A．1        B．－1        C．2        D．－2

3．一次函数y＝－2x＋3在R上是________函数．(填“增”或“减”)

4．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求Δy的平均变化率ΔyΔx.

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函数的单调性PPT，第三部分内容：合作探究提素养

平均变化率的计算

【例1】　一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．

[思路点拨]　由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．

规律方法

1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．

2．求平均变化率只需要三个步骤：(1)求出或者设出自变量的改变量；(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量；(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．

跟踪训练

1．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．

(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；

(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率．

利用平均变化率证明函数的单调性

【例2】若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g＝1f(x)在I上为减函数．

规律方法

单调函数的运算性质

若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则：

1f（x）与f（x）＋CC为常数具有相同的单调性.

2f（x）与a•f（x），当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性.

二次函数的单调性最值问题

[探究问题]

1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？

2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？

课堂小结

1．平均变化率中Δx，Δy，ΔyΔx的理解

(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；

(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；

(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；

(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．

2．判断函数y＝f(x)在I上单调性的充要条件

(1)y＝f(x)在I上单调递增的充要条件是ΔyΔx＞0恒成立；

(2)y＝f(x)在I上单调递减的充要条件是ΔyΔx＜0恒成立.

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函数的单调性PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a.(　　)

(2)函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1的几何意义是过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．(　　)

(3)在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)任意两点的平均变化率都相等．(　　)

2．函数f(x)＝x从1到4的平均变化率为(　　)

A.13　B.12

C．1  D．3

3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是(　　)

4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．

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